Théorème de Thébault

 Géométrie analytique et trigonométrie

Objet de l’activité : Découvrir et démontrer le théorème de Thébault, à savoir : « Les centres des carrés construits sur les côtés d’un parallélogramme à l’extérieur de celui-ci sont les sommets d’un carré ». Ce résultat inattendu très simple est assez bluffant.
But de l’activité : Il y a plusieurs solutions possibles dont une solution géométrique et une solution analytique par les nombres complexes. On fait découvrir ici le théorème à l’aide d’une construction « GeoGebra » puis on prouve le résultat entrevu en s’appuyant sur le cercle trigonométrique et sur les relations liant le sinus et le cosinus de 2 angles différant de /2. Les calculs sont à la fois fastidieux et très simples : ils ne comportent que des échanges de coordonnées et des additions.

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 Thébault